Analisis Infinitesimal

Isaac Newton
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Isaac Newton en 1702 por Geoffrey Kneller
Sir Isaac Newton (25 de diciembre de 1642 JU – 20 de marzo de 1727 JU; 4 de enero de 1643 GR – 31 de marzo de 1727 GR) fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.
Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.
Entre sus hallazgos científicos se encuentran el descubrimiento de que el espectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de convección térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas. Fue también un pionero de la mecánica de fluidos, estableciendo una ley sobre la viscosidad.
Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la revolución científica. El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que «Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo.
Desarrollo del Cálculo
De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity College. En 1669 su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasiana de matemática, puesto en el que Newton le sucedería hasta 1696. El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow, su «Analysis per aequationes número terminorum infinitos». Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.
Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.
Newton y Leibniz protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del desarrollo de esta rama de la matemática. Los historiadores de la ciencia consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas prácticos. La polémica dividió aún más a los matemáticos británicos y continentales, sin embargo esta separación no fue tan profunda como para que Newton y Leibniz dejaran de intercambiar resultados.
Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.
Después de 1666 Newton abandonó sus trabajos matemáticos sintiéndose interesado cada vez más por el estudio de la naturaleza y la creación de sus Principia.

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Gottfried Leibniz
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Gottfried Wilhelm Leibniz, a veces von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 – Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.
Fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como «El último genio universal». Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia. Incluso Denis Diderot, el filósofo deísta francés del siglo XVIII, cuyas opiniones no podrían estar en mayor oposición a las de Leibniz, no podía evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribió en la Enciclopedia: «Quizás nunca haya un hombre leído tanto, estudiado tanto, meditado más y escrito más que Leibniz… Lo que ha elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en nada al filósofo de Atenas.»2 De hecho, el tono de Diderot es casi de desesperanza en otra observación, que contiene igualmente mucho de verdad: «Cuando uno compara sus talentos con los de Leibniz, uno tiene la tentación de tirar todos sus libros e ir a morir silenciosamente en la oscuridad de algún rincón olvidado.» La reverencia de Diderot contrasta con los ataques que otro importante filósofo, Voltaire, lanzaría contra el pensamiento filosófico de Leibniz; a pesar de reconocer la vastedad de la obra de éste, Voltaire sostenía que en toda ella no había nada útil que fuera original, ni nada original que no fuera absurdo y risible.
Ocupa un lugar igualmente importante tanto en la historia de la filosofía como en la de las matemáticas. Inventó el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces. También inventó el sistema binario, fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales. Fue uno de los primeros intelectuales europeos que reconocieron el valor y la importancia del pensamiento chino y de la China como potencia desde todos los puntos de vista.
Junto con René Descartes y Baruch Spinoza, es uno de los tres grandes racionalistas del siglo XVII. Su filosofía se enlaza también con la tradición escolástica y anticipa la lógica moderna y la filosofía analítica. Leibniz hizo asimismo contribuciones a la tecnología y anticipó nociones que aparecieron mucho más tarde en biología, medicina, geología, teoría de la probabilidad, psicología, ingeniería y ciencias de la información. Sus contribuciones a esta vasta lista de temas está desperdigada en diarios y en decenas de miles de cartas y manuscritos no publicados. Hasta el momento, no se ha realizado una edición completa de sus escritos, y por ello no es posible aún hacer un recuento integral de sus logros.
Matemática
Aunque la noción matemática de función estaba implícita en la trigonometría y las tablas logarítmicas, las cuales ya existían en sus tiempos, Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular.9 En el siglo XVIII, el concepto de «función» perdió estas asociaciones meramente geométricas.
Leibniz fue el primero en ver que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser organizados en un arreglo, ahora conocido como matriz, el cual podía ser manipulado para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método fue conocido más tarde como «Eliminación Gaussiana». Leibniz también hizo aportes en el campo del álgebra booleana y la lógica simbólica.Cálculo infinitesimal
La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Newton. De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese día empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x). Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo «integral» ∫, que representa una S alargada, derivado del latín «summa», y la letra «d» para referirse a los «diferenciales», del latín «differentia». Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es probablemente su legado matemático más perdurable. Leibniz no publicó nada acerca de su Calculus hasta 1684.10 La regla del producto del cálculo diferencial es aún denominada «regla de Leibniz para la derivación de un producto». Además, el teorema que dice cuándo y cómo diferenciar bajo el símbolo integral, se llama la «regla de Leibniz para la derivación de una integral».
Desde 1711 hasta su muerte, la vida de Leibniz estuvo emponzoñada con una larga disputa con John Keill, Newton y otros sobre si había inventado el cálculo independientemente de Newton, o si meramente había inventado otra notación para las ideas de Newton.11
Leibniz pasó entonces el resto de su vida tratando de demostrar que no había plagiado las ideas de Newton.
Actualmente se emplea la notación del cálculo creada por Leibniz, no la de Newton.
A continuación presento un instrumento que diseñé para facilitar la comprensión de este problema, y además poder aplicarlo en un programa computacional.
Con el instrumento pinchamos con una pierna de punta en el vértice A y con la otra pierna de punta pinchamos el vértice B, de la hipotenusa del triángulo ampliado ABC, para trazar un eje de simetría que es perpendicular en la mitad de la hipotenusa AB en D.
A continuación con una pierna de punta del instrumento pinchamos en el vértice A y con la otra pierna de punta pinchamos el vértice E de la secante AE hipotenusa del triángulo AED, para bajar una tangente en la media de AE en G, intersectando con el eje de simetría en 0.  0E es el radio buscado.

Decidí a realizar esta investigación, debido a que había determinado con la igualdad de perímetros de circunferencias y la igualdad de perímetros de cuadrados, que no existe igualdad de curvas y rectas en el universo que nos legaron. Conclusión que fue publicada en la página 214 del Libro “Resúmenes – de la XVII Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa”  RELME17, Universidad Católica, Santiago de Chile – Julio 2003.

Extracto

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ANALISIS DE LA NO IGUALDAD DE LA CURVA Y LA RECTA

Bases estructurales para la extensión del sistema de medidas

Walter Enrique Meyer Vergara

curiosidadesgeometricas@gmail.com

Campo de Investigación

Nivel Educativo: Todos los niveles

“La relación matemática de la curva y la recta es igual; Por ende lo es también para los cuadrados y las circunferencias, los cubos y las esferas”.  En términos simples podemos decir que del mismo modo como operamos con los cuadrados podemos hacerlo con las circunferencias y de igual forma como operamos con los cubos, operamos con las esferas de forma exacta.

El esquema formado por la circunferencia y el cuadrado constituido por sus tangentes, van de cero al infinito, también lo es para las esferas y el cubo formado por sus planos tangenciales, por lo tanto, se puede afirmar que la definición que tenemos de la recta que dice que es una curva de radio infinito, es falsa.

La conformación de un método para medir en forma EXACTA todo el mundo circular y esférico, acorde con los “tiempos que vienen”.

Nota: Cuando me refiero a la palabra «EXACTA» es en geometría y no en cuanto a los sistemas de medidas.

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Podemos visualizar con los desarrollos numéricos (Pág. 7a y 7b) que, al reducir la escala de página 7a a 1.000.000 : 1, la diferencia que tenemos entre un arco de circunferencia y una recta ds (igual AB), hipotenusa del triángulo ABC, igual a 0,81892113…, ésta se mantiene en proporción en la Pág. 7b (0,000000818921…). Podemos seguir reduciendo la escala siempre antes de llegar a 0.  (Escala → 0).

Este estudio lo realicé en forma inversa al estudio hecho por el Sr. Leibniz, por lo tanto si pudiéramos hacer un programa computacional consistiría en:
* Agrandar los infinitésimos triángulos característicos, con su correspondiente arco, a una escala que nos permita medir el cateto dx del triángulo de vértices ABC.
*  Luego trazamos la secante AE del triángulo AED (de catetos  ds/2  y  f = DE)
*  Bajamos con la mitad de la secante AE una perpendicular intersectando el eje de simetría en cero
*   El trazo 0E es el radio del arco de circunferencia buscado.

NOTA:   Este  estudio  lo  he  redactado  lo  más  simple posible para llegar  a  la  mayor  cantidad   de  personas,  sobre  todo  a los alumnos de nivel superior.  Sé que el tema es delicado porque sabemos que los límites, derivadas, integrales, etc. son conceptos.

 La idea de la notación diferencial:   es un triángulo rectángulo infinitesimal con catetos dx,  dy  y su hipotenusa un pequeño segmento de curva  y  =  f (x) ?;   esta fue la idea luminosa del Sr. Leibniz.

             No voy a entrar en detalles sobre la derivación con los métodos del Sr. Newton.  Pueden leer sobre el tema donde tenemos suficiente literatura y ejemplos en los textos de cálculo.

Tampoco voy a entrar en la problemática del error y la aproximación lineal, sólo pretendo aclarar  los conceptos para poder obtener un sistema computacional que nos permita a través de un sistema  de zoom,  facilitar una aproximación más real para el cálculo que tenemos de una curva.                 

               Creo que con la tecnología actual podemos avanzar más en este tema.