Nueva Matemática para las curvas.

ESTUDIOS GEOMETRICOS DE

WALTER MEYER V.

Presentación
Estas páginas van dirigidas principalmente a profesores y estudiantes secundarios con espíritu crítico. Los sistemas tradicionales de enseñanza inhiben el espíritu crítico de profesores y estudiantes. Resulta paradojal, por ejemplo, que la enseñanza de la matemática no haya cuestionado el hecho de medir el área encerrada por una figura curva con unidades cuadradas de medida. ¿No sería más lógico medir esa área en unidades circulares de medida?

Se presenta aquí, en primer lugar, un ingenioso método geométrico que permite calcular el valor de “pi” mediante el Teorema de Pitágoras (ver entrada de blog: http://www.curiosidadesgeometricas.blogspot.com/2011/09/calculo-del-valor-de-pi-con-teorema-de.html ). A partir de un teorema de igualdad de perímetros de circunferencias se presentan diversos teoremas para circunferencias y volúmenes. Como consecuencia de estos resultados se propone el concepto de geometría circular. Este concepto nos lleva a una geometría que no requiere del valor de “pi”.

CALCULO DE PERIMETRO DE CIRCUNFERENCIA CON CIRCUNFERENCIAS DE
MENOR DIAMETRO
Imagina que tienes una circunferencia cualquiera de diámetro D (unidades lineales).

Imagina ahora que divides el diámetro en “n” partes cualquiera.

Si usas cada uno de esas partes como diámetro de una circunferencia.

Entonces la suma de los perímetros de todas esas circunferencias es igual al perímetro de la circunferencia de diámetro D.

Fíjate que el resultado no depende del número “n” de tramos en que dividas el diámetro D ni del largo de cada tramo. Este resultado es notable tanto por su simpleza como por su utilidad. A partir de él es posible definir una unidad diametral de medida, la que nos permitiría “medir” el perímetro de una circunferencia sin usar el valor de “pi”, evitando así la ya mencionada inexactitud en el resultado. Por ejemplo, podríamos definir 1 centímetro diametral (1 cmd) como el “perímetro” de una circunferencia cuyo diámetro es 1 centímetro.
Así, 1 cmd + 2 cmd = 3 cmd. En otras palabras, al sumar una circunferencia de 1 centímetro diametral con una circunferencia de 2 centímetros diametrales obtenemos una circunferencia de 3 centímetros diametrales.

CALCULO DE AREA DE UN CIRCULO CON CIRCULOS DE MENOR DIAMETRO
Imagina que tienes un cuadrado y que inscribes en él un círculo.

Imagina ahora que lo divides en n x n cuadraditos más pequeños.

Si dentro de cada cuadradito inscribes un círculo.

Entonces la suma de las áreas de esos n x n círculos es igual al área del círculo inscrito en el cuadrado grande.

Es posible entonces definir una unidad circular de medida que tampoco depende del valor de “pi”. Podríamos definir 1 centímetro circular (1 cmc) como el “área” de un círculo cuyo diámetro es 1 centímetro. Así el área de un círculo de 5 centímetros de diámetro es igual a (5 x 5) veces 1 cmc (centímetro circular) , es decir, 25 cmc.
CALCULO DE VOLUMEN DE ESFERA CON ESFERAS DE MENOR DIAMETRO
Análogamente, imagina que ahora que tienes un cubo y inscribes en él una esfera.

Imagina ahora que lo divides en n x n x n cubitos más pequeños.

Si dentro de cada cubito inscribes una esferita.


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Entonces la suma de los volúmenes de esas n x n x n esferitas es igual al volumen de la esfera inscrita en el cubo grande. Podemos así definir una unidad esférica de medida que no depende del valor de “pi”.

Podríamos definir 1 centímetro esférico (1 cme) como el “volumen” de una esferita cuyo diámetro es 1 centímetro. Así, el volumen de una esfera de 4 centímetros de diámetro sería igual a (4x4x4) veces 1 cme, es decir, 64 cme.

PROBLEMA ABIERTO

El análisis anterior nos lleva a la posibilidad de un sistema circular de medida, que eliminaría la inexactitud introducida por “pi”.
Más explícitamente, estamos hablando de una geometría circular. La pregunta lógica es si estas unidades de medida servirían para medir perímetros, áreas y volúmenes de cualquier figura curva. Tal vez podrías intentar responder esta pregunta repitiendo los razonamientos anteriores para el caso una figura conocida, como la elipse por ejemplo. Si necesitas algunas ideas de cómo podrías proceder, envíame un mensaje con tus inquietudes al correo curiosidadesgeometricas@gmail.co